Domanda:
Precisione dell'illustrazione della curvatura dello spaziotempo
frodeborli
2014-01-15 16:04:37 UTC
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Quando una particella viaggia attraverso lo spaziotempo, questo a volte viene illustrato mentre si muove in una griglia piatta con varie profondità. Quanto è accurato questo modo di immaginare la gravità?

Può la gravità essere infinitamente profonda?

Pozzo della gravità http://blakemaybank.com/wp-content/uploads/ 2012/12 / Gravity_well.gif

Guardando questa illustrazione, suggerisce che c'è una quantità di distanza che scende dal pozzo. Il movimento giù per il pozzo è limitato dalla velocità della luce? Ricorda, sono consapevole che si tratta di un'illustrazione e la domanda riguarda l'accuratezza dell'illustrazione.

Tutti i pozzi gravitazionali sono infinitamente profondi al centro esatto? In modo che se una particella potesse essere resa abbastanza piccola da stare al centro, diventerebbe un buco nero.

Due risposte:
#1
+8
Stan Liou
2014-01-15 18:43:08 UTC
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La gravità newtoniana di una sorgente puntiforme può essere descritta da un potenziale $ \ Phi = - \ mu / r $. Se sopprimiamo una dimensione spaziale e la usiamo per rappresentare graficamente il valore di questo potenziale, invece, otteniamo qualcosa che sembra molto vicino a questa illustrazione, ed è davvero infinitamente profondo al centro - almeno, nell'idealizzazione di un punto-massa . E più lontano dal centro, diventa piatto, proprio come molte illustrazioni come questa ce l'hanno.

Illustrazioni come questa sono abbastanza comuni e immagino che alla fine siano ispirate dal potenziale newtoniano, perché non hanno quasi nulla a che fare con la curvatura dello spaziotempo.

Ecco un'incorporazione isometrica della geometria di Schwarzschild in un istante del tempo di Schwarzschild, di nuovo con una dimensione soppressa:

enter image description here

Sopra l'orizzonte (cerchio rosso), la superficie è un pezzo di un paraboloide (il paraboloide Flamm ). A differenza del potenziale, non diventa piatto a grandi distanze.

Essere isometrico significa che rappresenta correttamente le distanze spaziali sopra l'orizzonte in un istante del tempo di Schwarzschild. Sotto l'orizzonte, l'incorporamento non è tecnicamente accurato perché la coordinata radiale di Schwarzschild non rappresenta lo spazio lì, ma il tempo. Anche se fingiamo che sia simile allo spazio sotto l'orizzonte, sarebbe l'inclusione corretta. Immagina che la parte sotto l'orizzonte abbia un flusso unidirezionale nella singolarità.

Poiché abbiamo rappresentato solo lo spazio e non il tempo, l'incorporamento non è sufficiente per ricostruire le traiettorie delle particelle in questo spaziotempo. Tuttavia, è una rappresentazione più accurata di una parte della curvatura dello spaziotempo della sorgente puntiforme, in particolare la parte spaziale.


La velocità dell'oggetto da questa prospettiva sembrerebbe aumentare, fino a un punto in cui la velocità nelle coordinate x, y inizia a diminuire a causa della maggior parte del movimento che avviene "verso il basso" nella dimensione temporale. Anche questo è corretto? Un fotone sembrerebbe rallentare quando si sposta verso il basso nel pozzo, se visto dall'alto?

Quanto sopra è un incorporamento di una fetta di geometria spaziale, e non è un pozzo gravitazionale. La forma matematica del paraboloide sopra l'orizzonte è meglio descritta in coordinate cilindriche come $$ r = 2M + \ frac {z ^ 2} {8M} \ text {.} $$ Qui la verticale $ z $ coordinate non significa nulla fisicamente. È puramente un artefatto della creazione di una superficie della stessa curvatura intrinseca nello spazio euclideo di $ 3 $ della porzione spaziale di $ 2 $ della geometria di Schwarzschild.

Per lo spaziotempo di Schwarzschild, la caduta libera radiale è in realtà esattamente newtoniana in la coordinata radiale di Schwarzschild e il tempo proprio, cioè il tempo sperimentato dall'oggetto in caduta libera, piuttosto che il tempo di Schwarzschild. Quindi il pozzo della gravità newtoniana non è in realtà una cattiva immagine per la fisica - non è solo la geometria e quindi non è una buona rappresentazione di come una parte dello spaziotempo è curva. Per le orbite non radiali, il potenziale effettivo è leggermente diverso da quello newtoniano, ma ignorare gli effetti del momento angolare ci fa ottenere la forma newtoniana.

Nel tempo di Schwarzschild, sì, un fotone (o qualsiasi altra cosa ) rallenta man mano che si avvicina all'orizzonte. In effetti, nel tempo di Schwarzschild non raggiunge mai l'orizzonte, il che è un'indicazione che le coordinate di Schwarzschild si comportano male all'orizzonte. L'accelerazione coordinata diventa effettivamente repulsiva vicino all'orizzonte e, per un oggetto che cade abbastanza velocemente, è sempre repulsiva. Questo può essere inteso come la particella che si sposta in luoghi con una dilatazione temporale sempre più gravitazionale. Al momento opportuno di qualsiasi osservatore in caduta, tuttavia, vicino all'orizzonte l'accelerazione è sempre attraente.

Grazie; questo è solo un seguito relativo alla seconda parte della domanda; "movimento" nel pozzo. Visualizzandolo dall'alto saresti in grado di osservare solo due dimensioni fisiche. La velocità dell'oggetto da questa prospettiva sembrerebbe aumentare, fino a un punto in cui la velocità nelle coordinate x, y inizia a diminuire a causa della maggior parte del movimento che avviene "verso il basso" nella dimensione temporale. Anche questo è corretto? Un fotone sembrerebbe rallentare quando si sposta nel pozzo, se visto dall'alto?
#2
+2
censored user
2018-03-05 13:20:20 UTC
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Può la gravità essere infinitamente profonda?

Solo se il parametro di rotazione di un buco nero rotante è massimo in modo che la velocità di rotazione dell'orizzonte sarebbe la velocità di luce $ \ rm (a = M) $ l'integrale della componente $ g _ {\ rm rr} $ esplode e l'incorporamento isometrico del piano radiale diventa infinito all'orizzonte (vedi Bardeen 1972, Fig. 2). Ecco il paraboloide di Flamm per tutti i parametri di spin, fintanto che lo spin è subestremale le distanze sono finite (quando $ \ rm a = 0 $ viene recuperata la soluzione di Schwarzschild esterna):

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Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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