Domanda:
Qual è il rapporto corretto tra gli effetti gravitazionali Newtoniani e Relativistici Generali per il Sole + il sistema orbitale di un singolo pianeta
steveOw
2014-10-15 19:31:43 UTC
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Per un ipotetico sistema orbitale (Sole + pianeta singolo), il modello newtoniano e il modello della relatività generale (GR) producono espressioni diverse per l'effetto gravitazionale del Sole sul pianeta. Questo è ben noto.

Il rapporto tra gli effetti newtoniani e GR è espresso in modi diversi da scrittori diversi.

Ho difficoltà a conciliare due di queste espressioni del rapporto Newton: GR .

In primo luogo Walter (2008) (equazione 12.7.6, pagina 482) presenta la seguente espressione per l'equazione del moto prodotta dal modello GR

$$ \ frac {d ^ 2 \, u} {d \ theta ^ 2} + u = \ frac {GM} {h ^ 2} + \ frac {3GM} {c ^ 2} u ^ 2 $$ dove $ u = (1 / r) $, $ h = vr $, $ G $ è la costante universale di gravitazione, $ M $ è la massa del Sole, $ c $ è la velocità della luce. Qui il termine $ GM / h ^ 2 $ è il termine newtoniano ordinario e il termine $ 3GMu ^ 2 / c ^ 2 $ è il termine aggiuntivo introdotto da GR.

Da questo Walter deriva il rapporto approssimativo tra effetti Newtoniani e GR come $ (1) $ a $ (1 + 3v ^ 2 / c ^ 2) $ dove $ v = \ sqrt {GM / r} $ è la velocità orbitale del pianeta in un'orbita circolare (con distanza $ r $ = $ a $, il semiasse maggiore).

In secondo luogo, una presentazione alternativa (che si riferisce alla cosiddetta soluzione di Schwartzchild) è data da Goldstein in Meccanica classica (3a edizione) pagine 536-538. Il potenziale GR $ V_ {GR} $ è dato da $$ V = - \ frac {GMm} {r} - \ frac {b} {r ^ 3} $$ dove $ m $ è la massa corporea target e $ b $ è una costante (Goldstein usa $ h $ invece di $ b $, vedi sotto, ma ho già usato $ h $ per indicare qualcosa di diverso in Walter sopra),

differenziando il potenziale rispetto alla distanza $ r $ da dare forza deriviamo $$ F_ {GR} = \ frac {GMm} {r ^ 2} + \ frac {3b} {r ^ 4} $$

Ora Goldstein definisce la costante $ b $ così: - $$ b = \ frac {k \, l ^ 2} {m ^ 2c ^ 2} \ qquad \ text {Goldstein eqtn [12.48]} $$ dove $$ k = GMm $$ e $$ l ^ 2 = mka (1 -e ^ 2) \ qquad \ text {Goldstein eqtn [12.50]} $$

Quindi

$$ b = \ frac {GMm \, m \, GMm \, a (1-e ^ 2)} {m ^ 2c ^ 2} = \ frac {GMm \, L ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {GMm \, m ^ 2 v_c ^ 2 a ^ 2} {c ^ 2} $$

Quindi l'equazione della forza GR diventa $$ F_ {GR} = \ frac {GMm} {r ^ 2} + \ frac {3GMm m ^ 2 v_c ^ 2 a ^ 2} {r ^ 4c ^ 2} $$ sostituendo $ a $ con $ r $ otteniamo $$ F_ {GR} = \ frac {GMm} {r ^ 2} + \ frac {3GMm m ^ 2 v_c ^ 2} {r ^ 2c ^ 2} = \ frac { GMm} {r ^ 2} \ left (1 + \ frac {3 v_c ^ 2 \, m ^ 2} {c ^ 2} \ right) $$

Quindi il rapporto Newton: GR derivato da Goldstein è lo stesso del rapporto derivato da Walter, tranne per il fatto che il primo ha il termine aggiuntivo di $ m ^ 2 $ al numeratore. Anche se provassimo a confondere numericamente questo invocando un obiettivo di massa unitaria, sarebbe comunque dimensionalmente errato.

Allora qual è il rapporto corretto? $$$$

AGGIORNAMENTO -------------------------------- -------------------------------------

Nel refactoring di $ b $ ho usato angular momento $ L $ quando avrei dovuto usare un momento angolare specifico $ \ mathfrak {l} $. Dopo la correzione, il $ m ^ 2 $ aggiuntivo scompare. Goldstein è d'accordo con Walter. Ringrazio Stan Liou per l'illuminazione.

Analisi corretta: - $$ b = \ frac {GMm \, m \, GMm \, a (1-e ^ 2)} {m ^ 2c ^ 2} = \ frac {GMm \, \ mathfrak {l} ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {GMm \, v_c ^ 2 a ^ 2} {c ^ 2} $$

Quindi l'equazione della forza GR diventa $$ F_ {GR} = \ frac {GMm} {r ^ 2} + \ frac {3GMm v_c ^ 2 a ^ 2} {r ^ 4c ^ 2} $$ sostituendo $ a $ con $ r $ otteniamo $ $ F_ {GR} = \ frac {GMm} {r ^ 2} + \ frac {3GMm v_c ^ 2} {r ^ 2c ^ 2} = \ frac {GMm} {r ^ 2} \ left (1 + \ frac {3 v_c ^ 2} {c ^ 2} \ right) $$

Quindi il rapporto corretto tra forza gravitazionale newtoniana e GR è: - $$ F_ {Newtoniano}: F_ {GR} \ circa 1 : \ left (1 + \ frac {3 v_c ^ 2} {c ^ 2} \ right) $$

NOTE

Questo rapporto è approssimativo e si applica solo nel "basso sottodominio "velocità, campo debole" del modello GR.

Goldstein sottolinea anche che l'effetto GR non è un effetto di velocità (presumibilmente come nella velocità del corpo bersaglio attraverso qualsiasi tipo di etere o flusso).

Per coincidenza (nello stesso sottodominio ad es. Mercurio in orbita attorno al Sole) una forza radiale newtoniana modificata di magnitudine $ f = GMm / r ^ 2 * [1 + 3v_t ^ 2 / c ^ 2] $, dove $ v_t $ è la velocità trasversale istantanea di un piccolo pianeta bersaglio, produce una rotazione absidale non newtoniana ("precessione del perielio") della stessa grandezza (entro l'1%) di GR.

Goldstein deve essere letto con attenzione. Qui usa $ l $ per denotare il momento angolare altrove (es. Eqtn [1.7]) usa $ L $. Spesso si riferisce a $ V $ come "potenziale" quando si riferisce chiaramente a "energia potenziale" (ad esempio eqtn [3.49]).

Non esiste un "rapporto" specifico. Se questo fosse tutto ciò che c'era nella relatività generale, GR sarebbe stato facile. GR non è "facile". La relazione pubblicata in questa domanda è forse la più semplice delle linearizzazioni semplici della relatività generale.
David ha ovviamente ragione in quanto questo tipo di confronto ha senso solo per orbite lente in un'approssimazione di campo debole, sebbene fortunatamente questo sia anche il contesto di questa domanda. Si può notare che per il caso specifico dello spaziotempo di Schwarzschild, le orbite sono * esattamente * descritte dal potenziale effettivo; l'approssimazione avviene quando si tratta la coordinata radiale e il tempo proprio come se fossero newtoniani, il che non è valido in situazioni più generali.
David & Stan: Grazie. Sì, ne ero a conoscenza ma ho aggiunto chiarimenti alla fine della Domanda.
Due risposte:
Stan Liou
2014-10-15 22:50:56 UTC
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Le orbite nello spaziotempo di Schwarzschild possono essere descritte dal potenziale effettivo $$ V_ \ text {eff} = - \ frac {GM} {r} + \ frac {\ mathfrak {l} ^ 2} {2r ^ 2} - \ frac {GM \ mathfrak {l} ^ 2} {c ^ 2r ^ 3} \ text {,} $$ dove $ \ mathfrak {l} = r ^ 2 \ dot {\ phi} $ è il momento angolare specifico di l'orbita, che è una quantità conservata. I primi due termini corrispondono alla forma del potenziale effettivo newtoniano, tranne per il fatto che qui ci riferiamo alla coordinata radiale di Schwarzschild $ r $ e al tempo proprio della particella orbitante, invece che alla distanza radiale e al tempo coordinato. Il primo termine è il solito potenziale gravitazionale e il secondo è il potenziale centrifugo, quindi $ V $ di Goldstein ha un senso invece come termine di energia potenziale gravitazionale.

Pertanto, $ l ^ 2 = mka (1 -e ^ 2) $ con $ k = GMm $ significa che $ l $ è il momento angolare, $ l = m \ mathfrak {l} $ e $$ \ frac {GM \ mathfrak {l} ^ 2} {c ^ 2r ^ 3} m = GMm \ frac {l ^ 2} {m ^ 2} \ frac {1} {c ^ 2r ^ 3} = \ underbrace {\ frac {kl ^ 2} {m ^ 2c ^ 3} } _b \ frac {1} {r ^ 3} \ text {,} $$ proprio come dice Goldstein. Se differenziamo $ \ frac {1} {2} m \ dot {r} ^ 2 + mV_ \ text {eff} = \ mathcal {E} $ rispetto al tempo corretto, allora $$ \ begin {eqnarray *} m \ ddot {r} - \ frac {l ^ 2} {mr ^ 3} & = & - \ frac {k} {r ^ 2} - \ frac {3b} {r ^ 4} \\ & = & - \ frac {k} {r ^ 2} \ left (1 + 3 \ frac {l ^ 2} {m ^ 2c ^ 2} \ frac {1} {r ^ 2} \ right) \\ & = & - \ frac {k} {r ^ 2} \ sinistra (1 + 3 \ frac {m (GMm) a (1-e ^ 2)} {m ^ 2c ^ 2} \ frac {1} {r ^ 2} \ destra) \\ & = & - \ frac {k} {r ^ 2} \ left (1 + 3 \ frac {v_c ^ 2} {c ^ 2} \ frac {a (1-e ^ 2)} {r} \ right) \ text {.} \ end {eqnarray *} $$ Questo è dimensionalmente corretto, poiché sia ​​$ v_c / c $ che $ a / r $ sono adimensionali, mentre $$ \ frac {l ^ 2} {mr ^ 3 } = \ frac {k} {r ^ 2} \ frac {a (1-e ^ 2)} {r} \ text {.} $$ Il lato sinistro ha la forma newtoniana.

$ \ ell $ ha dimensione $ MD ^ 2 / T $ a causa dell'inclusione di $ k = GMm $ nell'Eqtn 12.50. Forse l'Eqtn.12.48 per $ b $ dovrebbe avere $ m ^ 4 $ al denominatore invece di $ m ^ 2 $?
Aha! Vedo che l'errore è mio. Ho confuso il momento angolare con il momento angolare specifico (nessuna massa). Goldstein è d'accordo con Walter. Il suo $ \ ell ^ 2 $ va bene in quanto il secondo $ m $ deriva dal termine $ k = GMm $.
@steveOw sì, ho letto male anche il modo in cui sono state definite le variabili. Eh!
Penso che la tua ultima equazione ma una dovrebbe avere (a ^ 2 / r ^ 2) invece di (a / r) assumendo che l'equazione precedente sia corretta. Ad ogni modo, qualsiasi presenza di r in questo termine smentisce la mia tesi ... che ora sto rivalutando ... Posso fare una domanda a parte per chiarire i miei pensieri.
@steveOw Poiché $ l ^ 2 / m ^ 2 = GMa (1-e ^ 2) $ come introdotto all'inizio del secondo paragrafo (cfr. Anche [qui] (https://en.wikipedia.org/wiki/Specific_angular_momentum #Elliptical_orbit) ma con $ m \ ll M $), $ a / r $ è corretto. Ma sei il benvenuto a porre domande di follow-up.
Scusa, non sono stato molto chiaro. Mi riferivo alla modifica da: $ m (GMm) / (m ^ 2r ^ 2) $ a: $ v_c ^ 2 / r $. Mi sembra che quest'ultimo termine manchi $ a / r $. Che sarebbe valido solo per un'orbita circolare. A proposito, ho pubblicato una domanda di follow-up [qui] (https://astronomy.stackexchange.com/questions/7900/can-general-relativity-indicate-phase-dependent-variations-in-planetary-orbital)
@steveOw ma $ v_c ^ 2 = GM / r $ ha già un fattore di $ 1 / r $, quindi è per questo che $ 1 / r ^ 2 $ va a $ 1 / r $, quindi va bene anche questo. Tuttavia, darò un'occhiata all'altra tua domanda.
Ah, questo spiega la discrepanza, stavo assumendo $ v_c ^ 2 = GM / a $. Walter assume un'orbita quasi circolare, quindi $ r \ approx a $ e $ a (1-e ^ 2) / r \ approx 1 $. Nella tua penultima formula RHS tra parentesi può essere espresso $ 1 + 3h ^ 2 / c ^ 2r ^ 2 $ = $ 1 + 3v_T ^ 2 / c ^ 2 $ dove v_T è la velocità trasversale istantanea. Quale (ora vedo) risponde alla mia domanda successiva. (Guarderò qui la tua risposta separata per completezza).
Agerhell
2019-05-24 23:30:11 UTC
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L'espressione utilizzata dalla NASA / JPL per approssimare gli effetti relativistici sull'orbita di un singolo pianeta più il Sole nel nostro sistema solare è nota come " espansione post-newtoniana" e sembra come:

$$ \ frac {d \ bar {v}} {dt} = - \ frac {GM} {r ^ 2} \ left (1 - \ frac {4GM} {rc ^ 2} + \ frac {v ^ 2} {c ^ 2} \ right) \ hat {r} + \ frac {4GM} {r ^ 2} \ left (\ hat {r } \ cdot \ hat {v} \ right) \ frac {v ^ 2} {c ^ 2} \ hat {v} $$

Se ci sono molti pianeti l'espressione diventa più complesso. Puoi confrontarlo con la classica accelerazione newtoniana:

$$ \ frac {d \ bar {v}} {dt} = - \ frac {GM} { r ^ 2} \ hat {r} $$

Non sono un grande fan di questa approssimazione, ma è quella che viene usata principalmente.

Per un'orbita circolare pura nelle coordinate di Schwarzschild ottieni la stessa velocità orbitale in GR (in tempo coordinato) come classicamente.

Se stai facendo cadere un oggetto da fermo l'accelerazione iniziale in GR (in tempo coordinato) è la lo stesso del classico.

Generalmente se vuoi sapere se GR o la gravitazione newtoniana classica si traducono in una maggiore accelerazione, devi decidere se sei interessato al risultato in "tempo coordinato" o "tempo corretto" e la frazione varierà anche a seconda della direzione in cui si muove il pianeta rispetto al Sole.



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Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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